应急演练应该由什么部门组织，需要根据具体情况而定，具体要看针对的是什么样的应急演练事件。

专项应急演练可以由该专项的主管部门来组织演练，如消防安全应急演练就是由消防主管部门来组织演炼；防洪抗涝应急演练由防汛抗旱指挥部来组织演练……

以某公司的设备故障这类突发事件的应急演练为例，那么可以由公司的设备管理部门组织，负责模拟设备出现故障的情况，并检验设备运行人员和设备维修人员的应急处置能力。同时，可以邀请设备供应商或者服务商参与或者指导演练。

如果是针对物料泄漏这类突发事件的应急演练，那么可以由公司的安全生产管理部门组织，负责模拟物料在生产过程中发生泄漏的情况，并检验生产人员和安全人员的应急处置能力。同时，可以邀请当地环保部门和消防救援部门参与或者指导演练。

所以应急演练应该由什么部门组织，具体还是要看是什么类型、什么规模、什么目的的应急演练。